Akhilleusz és a teknős

Akhilleusz utolérte a Teknőst és kényelmesen elhelyezkedett a páncélján.

Teknős: Azt hittem, valaki bebizonyította, hogy ez nem lehetséges.

Akhilleusz: Lehetséges. Tudod, a távolságok folyamatosan csökkentek, míg végül utolértelek.

Teknős: De ha folyamatosan növekedtek volna?

Akhilleusz: Akkor mostanra már sokszor megkerülted volna a Földet.

Teknős: Volna kedved megismerkedni egy olyan versennyel, amelyről az ember azt gondolná, hogy néhány lépéssel a végére érhet, valójában azonban végtelen sok lépést kell megtenni benne, ráadásul mindig nagyobbat, mint az előző volt?

Akhilleusz: De még mennyire! Csak előveszem a noteszemet, hogy mindent feljegyezhessek.

Teknős: Nos, a hagyomány néhány ezer év múlva minden bizonnyal azt tartja majd, hogy Akhilleusz gyorsabb volt a teknősnél.

Akhilleusz: És mennyire bölcsen is gondolja majd!

Teknős: Azt pedig minden gimnazista tudni fogja, hogy ha egy dolog gyorsabb egy másik dolognál, akkor egy versenyfutásban ez a gyorsabb utoléri a lassúbbat.

Akhilleusz: Kétség nem fér hozzá. Már ahogy feltalálják a gimnáziumot. Amire azért még várnunk kell kicsit.

Teknős: Most jön a notesz. Vegyük csak elő ezeket az állításokat és a belőlük levonható konklúziót. Az egyszerűség kedvéért jelöljük őket A, B és Z betűkkel. Tehát:

A) Ha Akhilleusz gyorsabb a teknősnél, akkor utoléri őt a versenyfutásban.

B) Akhilleusz gyorsabb a teknősnél.

Z) Tehát Akhilleusz utoléri a teknőst a versenyfutásban.

Most az a kérdés, hogy Z logikailag következik-e A-ból és B-ből, azaz, ha feltesszük, hogy A és B igazak, akkor Z-t is el kell-e fogadnunk igaznak?

Akhilleusz: Zeuszra, ez világos. Ha A és B igaz, akkor Z is igaz. Ez kétségbevonhatatlan.

Teknős: Érdekes az a feltételezésed, hogy ha A és B igaz, akkor Z is igaz. Nevezzük ezt C-nek. De talán akad olyan gimnazista, aki ezt nem fogadja el, és így azt sem, hogy maga a Z is igaz.

Akhilleusz: Nos ő jobban teszi majd, ha inkább futballozni kezd.

Teknős: Nem lehetne mégis inkább logikailag rákényszeríteni, hogy fogadja el Z-t igaznak?

Akhilleusz: De bizony, rá lehet kényszeríteni.

Teknős: Akkor kérlek, tekints engem ilyen gimnazistának!

Akhilleusz: Futballozó teknős? Ez tényleg nevetséges lenne. Szóval, elfogadod, hogy A és B igaz, de nem fogadod el azt a feltételezést, hogy ha A és B igaz, akkor Z-nek is igaznak kell lennie, tehát nem fogadod el, hogy C.

Teknős: Így van.

Akhilleusz: Akkor kérlek, fogadd el!

Teknős: Jó, bár a logikáról valami mást hallottam. Csak írd fel a noteszodba. Mi is van benne eddig?

Akhilleusz: Néhány feljegyzés azokról a háborúkról, amelyekben kitüntettem magam. Várj egy kicsit... Megvan:

A) Ha Akhilleusz gyorsabb a teknősnél, akkor utoléri őt a versenyfutásban.

B) Akhilleusz gyorsabb a teknősnél.

C) Ha A és B igaz, akkor Z is igaz.

Z) Tehát Akhilleusz utoléri a teknőst a versenyfutásban.

Ezzel végeztünk is. Ha A, B és C igaz, akkor Z is igaz. Most már el kell fogadnod Z-t.

Teknős: Miért kellene? Csak egy újabb feltételezést mondtál. És ha nem látom be az igazságát, nem vélhetem e A-t, B-t és C-t egyaránt igaznak, miközben Z-t nem fogadom el?

Akhilleusz: Bár a bárgyúságnak ez az esete rendkívül figyelemreméltó, mindazonáltal lehetséges. Ha azonban elfogadtad az előző feltételezést, most el kell fogadnod egy újabbat.

Teknős: Azt, hogy ha A, B és C igaz, akkor Z is igaz. Nevezzük D-nek. Leírtad?

Akhilleusz: Le. Nézzük csak, hogy állunk.

A) Ha Akhilleusz gyorsabb a teknősnél, akkor utoléri őt a versenyfutásban.

B) Akhilleusz gyorsabb a teknősnél.

C) Ha A és B igaz, akkor Z is igaz.

D) Ha A, B, és C igaz, akkor Z is igaz.

Z) Tehát Akhilleusz utoléri a teknőst a versenyfutásban.

És most végeztünk! Most a logika fog torkon ragadni és kényszeríteni arra, hogy ha elfogadod A-t, B-t, C-t és D-t, akkor Z-t is el kell fogadnod.

Teknős: Ha a logika mondja ezt, akkor arra is érdemes, hogy leírjuk. Remélem, kényelmesen ülsz. Ez fontos lépés volt és több millió jön még. Nevezd csak ezt E-nek! Amíg nem fogadom el, addig Z-t sem kell elfogadnom, ugye?

- Nem. - mondta Akhilleusz enyhe szomorúsággal a hangjában...

(Lewis Carroll, What the Tortoise said to Achilles. (1895) Fordította Zentai István)

Az eredeti Lewis Carroll cikk megtalálható a következő címen: http://www.ditext.com/carroll/tortoise.html

Zénón második paradoxonja a mozgásról:

Konklúzió: K1) Akhilleusz nem érheti utol a teknőst.

Az érvelés:

A teknős előnyt kap (végül is ő a lassabb) – mondjuk 10 m előnyt. Ahhoz, hogy Akhilleusz utolérje, először el kell jutnia addig a pontig, ahol indulásakor a teknős volt (10 m-rel előtte). Addigra viszont a teknős már haladt előre (jóval lassabban ugyan, mint versenytársa – mondjuk 1 métert). Ahhoz, hogy Akhilleusz utolérje, először az 1 m-t kell behoznia. Addigra ellenben a teknős tovább haladt előre (0,1 m-t). És így tovább: az Akhilleusz-teknős távolság megtétele egyre csökkenő távolságok végtelen sorozatából áll. Tehát K1.

Az érvelés általánosabban (Zénó első paradoxonja alapján): A Teknős előnyt kap – 10 m előnyt. Ahhoz, hogy Akhilleusz megtegye a 10 m-t, először annak a felét kell megtennie – 5 m-t. Utána pedig annak a felét – 2,5 m-t. És így tovább: a fennmaradó véges távolság megtétele egyre csökkenő távolságok végtelen sorozatából áll.

Tehát K2: Akhilleusz még azt a pontot sem érheti el, ahol indulásakor a teknős tartott.

K2-ből következik K1.

Hogyan lehet belekötni ezekbe az érvelésekbe? A nagy kérdés: mozgás miképpen lehetséges a paradoxonok fényében?

Lewis Carroll történetének fenti adaptációjában Akhilleusz pont az ellenkező konklúzióra szeretne felállítani érvet, ez viszont korántsem egyszerű.

Konklúzió: Z) Akhilleusz utoléri a teknőst.

Akhilleusz első próbálkozása:

A) Ha Akhilleusz gyorsabb a teknősnél, akkor utoléri őt a versenyfutásban.

B) Akhilleusz gyorsabb a teknősnél.

Tehát Z.

A teknős szerint az érvelés csak akkor működhet, ha egy újabb feltételezést (premisszát), is beleillesztünk, C-t. Egyébként Akhilleusz vitapartnere elfogadhatja a premisszákat anélkül, hogy a konklúziót elfogadná.

Akhilleusz második próbálkozása:

A

B

C) Ha A és B igaz, akkor Z is igaz.

Tehát Z.

A teknős szerint ez az érvelés sem működik: Akhilleusz vitapartnere elfogadhatja A-t, B-t és C-t is anélkül, hogy a konklúziót elfogadná. Szükséges felvenni egy újabb feltételezést: Ha A, B, C igaz, akkor Z is igaz… Néhány hónappal később még mindig ott ültek; Akhilleusz notesza, amibe a premisszákat gyűjtötte, már majdnem betelt…

Hogyan lehetne belekötni a teknős álláspontjába? A mozgás paradoxonai mellé úgy tűnik, egy újabbat sorakoztathatunk fel: az érvelés paradoxonát. A nagy kérdés: érvelés miképpen lehetséges e paradoxon fényében?