6. A Poincaré-féle konvencionalizmus és a Duhem-Quine-tézis

 

Poincaré-féle konvencionalista álláspont

Le lehet-e vezetni egy fizikai elméletből bármilyen, a téridő geometriájára, és általában, szerkezetére vonatkozó állítást. Poincaré úgy gondolta, hogy nem. A térre és időre vonatkozó állításaink konvencionálisak. Képletesen szólva

$$(\textrm{téridő}\mbox{-}\textrm{geometria})+(\textrm{fizika})=(\textrm{valóság empirikus tényei})$$

Mi döntjük el, hogy hol választjuk szét a geometriát és a fizikát, vagyis lehetséges több

$$\begin{array}{ccccc} \left(\textrm{téridő geometria}\right)'... ...' & = & \left(\textrm{világ empirikus tényei}\right)\end{array}$$

Poincaré ezt a következő példán mutatta meg: Gondoljunk el kétdimenziós lényeket, akik arra vannak kárhoztatva, hogy egy közönséges euklideszi körlap belsején éljék életüket (. ábra). Vannak méterrúdjaik, melyekkel távolságot tudnak mérni. A körlap hőmérséklete a középponttól kifelé haladva a $T(r)=T_{0}\frac{\left(R^{2}-r^{2}\right)}{R^{2}}$ formula szerint csökken. Méterrúdjaik a hőmérséklettel arányosan változtatják hosszukat, tehát a kör széléhez közelítve a méterrudak hossza nullához tart. Poincaré megmutatta, hogy ha e körlap lakói úgy veszik, hogy méterrúdjaik hossza mindenütt egyforma, akkor arra a konklúzióra jutnak, hogy egy végtelen kiterjedésű, konstans negatív görbületű Bolyai-Lobacsevkszki-felületen élnek. Vagyis megint a geometria és a fizikai elmélet együtt kell hogy megfeleljen mindannak, amit e kétdimenziós lények műszereikkel és érzékszerveikkel a világból tapasztalnak:

$$\begin{array}{ccccc} \left(\begin{array}{c} \textrm{Bolyai}\... ...xtrm{empirikus}\\ \textrm{tények}\end{array}\right)\end{array}$$

Figure: Képzeljünk el olyan kétdimenziós lényeket, akik egész életüket egy euklideszi körlap belsejében élik le. Vannak méterrúdjaik, melyekkel távolságot tudnak mérni. A körlap hőmérsékleteloszlása nem homogén. A középponttól kifelé haladva a $T(r)=T_{0}\frac{\left(R^{2}-r^{2}\right)}{R^{2}}$ formula szerint csökken. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy méterrúdjaik a hőmérséklettel arányosan változtatják hosszukat, tehát a kör széléhez közelítve a méterrudak hossza nullához tart. Könnyen belátható, hogy ha e körlap lakói úgy veszik, hogy méterrúdjaik hossza mindenütt egyforma, akkor arra a konklúzióra jutnak, hogy egy végtelen kiterjedésű, konstans negatív görbületű Bolyai-Lobacsevkszki-felületen élnek

Mint ismeretes, az első nem euklideszi geometriák megalkotásakor Gauss kísérletileg akarta eldönteni, hogy melyik a ,,helyes'' geometria. Igaza volt-e Gaussnak? Részben igen, részben nem! Egyáltalán nem volt igaza, ha azt akarta így eldönteni, hogy a nem euklideszi geometriák helyesek-e, mint matematikai konstrukciók. Ez nem empirikus kérdés. Kis leegyszerűsítéssel azt mondhatjuk, a matematikus olyan matematikai struktúrát hoz létre, amilyet csak akar, feltéve, hogy a struktúrát értelmező axiómarendszer ellentmondásmentes, s hogy a konstrukció eleget tesz még néhány tradicionális elvárásnak. Ha ezeket valaki geometriának nevezi, szíve joga, legfeljebb a publikálásnál fogják tőle számon kérni, hogy milyen analógiák alapján nevezi így. Ha Gauss a fényjelekből képzett háromszög szögeinek összegét azért kívánta megmérni, mert ezzel arra keresett választ, hogy melyik geometria írja le helyesen a fényjelek viselkedését, akkor igaza volt, hogy ez egy empirikus kérdés. Tévedett viszont, ha arra gondolt, ezzel majd eldönthető, hogy a lehetséges geometriák közül melyik a ,,világ (pontosabban a fényjelek) geometriája'', hiszen önmagában a geometriát az empirikus megfigyelésekből nem lehet kiolvasni, csupán a fizikai elmélettel együtt vonatkoztatható az empirikus világra.

Összegezve tehát, matematikai értelemben sokféle geometria létezhet és létezik. Abban a pillanatban azonban, amikor azt kérdezzük, ,,empirikus-e a geometria'', vagyis eldönthető-e egy geometriai kérdés empirikusan, a geometriára nem egyszerűen mint matematikai elméletre gondolunk, hanem mint egy olyan elméletre, amely a világra vonatkozik. S mint ilyent, máris a világról szóló (jelesül fizikai) elméletünk tartozékaként kell felfognunk. Ennek megfelelően, csak e fizikai elmélettel együtt vethető alá az empirikus konfirmációnak. Ebben a minőségében azonban, mint Reichenbach helyesen hangsúlyozza,¹ empirikusan szerzett tudásunk része.

Azt hihetnénk a fenti elemzések alapján, hogy a téridőnek csak a metrikus tulajdonságai konvencionálisak, vagyis csak azok a tulajdonságok, melyek meghatározzák az egyes események téridőbeli távolságát. S hogy a topológiája a téridő struktúrájának olyan eleme, amely nem konvenció jellegű. A következő példán keresztül szeretnék rámutatni, hogy ez nem igaz. Misner és Wheeler mutatták meg először,² hogy a vákuum Einstein-egyenleteknek létezik megoldása az $S^{1}\times S^{2}\times\mathbb{R}$ topológiában, vagyis egy olyan téridő-sokaságon, melyben a térszerű hiperfelületek topológiája $S^{1}\times S^{2}$. Ezeket a képződményeket nevezte Wheeler ,,féreglyukaknak''. A megoldás érdekessége, hogy a féreglyuk két szája körül a téridő geometriája olyan, mintha egy-egy külső Schwartzschild-megoldás lenne, vagyis a vákuum egy ilyen topológiában úgy viselkedik, mintha ott nagy, pontszerű tömegek lennének. Ezt a jelenséget nevezte Wheeler úgy, hogy ,,tömeg, tömeg nélkül''. Wheeler azt is megmutatta, hogy a csatolt vákuum Einstein-Maxwell-egyenleteknek is létezik megoldása a féreglyuk-topológiában. Ilyenkor a féreglyuk két szája nem csak tömegként, hanem töltésként is viselkedik, miközben a tereknek nincsenek a valóságban forrásaik, hiszen vákuummegoldásról van szó, vagyis töltéseket látunk töltés nélkül (. ábra). Wheeler példájával élve, ha egy fizikushallgatónak úgy alakítanánk a tantervét, hogy először megtanítanánk neki a topológiát, utána megtanulná a vákuum elektrodinamikát, vagyis a Maxwell-egyenleteket úgy, hogy nem szerepelnek benne töltések és áramok, majd ezek után bevinnénk egy laboratóriumba és demonstrálnák neki egy ponttöltés körüli elektromos mező erővonalait, akkor ez a diák felkiáltana, ,,Jé, itt egy lyuk van a térben, a tér nem egyszeresen összefüggő!''.

Figure: ,,Töltés, töltés nélkül''. Az Einstein-Maxwell-egyenletek csatolt vákuum megoldása az $S^{1}\times S^{2}\times\mathbb{R}$ topológiában. A féreglyuk két szája körül az elektromos mező olyan, mintha ott egy pozitív, illetve negatív töltés lenne, miközben az elektromos mezőnek nincsenek forrásai, hiszen vákuummegoldásról van szó

Megmutatható,³ hogy a tömeghez és az elektromos töltéshez hasonlóan létezik ,,Yang-Mills töltés, Yang-Mills töltés nélül'', vagyis a többi részecskefizikai kölcsönhatást leíró fizikai mezők töltései is generálhatók a tér nem egyszeresen összefüggő topológiájával. Tehát a téridő topológiájában is van egy konvencionális elem:

$$\begin{array}{ccccc} \left(\begin{array}{c} \textrm{egyszere... ...xtrm{empirikus}\\ \textrm{tények}\end{array}\right)\end{array}$$

Vegyük észre azt a tudományfilozófiai szempontból figyelemreméltó körülményt, hogy a téridő topológiájában és geometriájában fennálló konvencionalitás egyben a fizikai elméletek konvencionalitását is jelenti: a fizikai létezők olyan esszenciális attribútumainak, mint a tömeg és a különböző töltések, már a puszta létezése is csupán konvenció kérdése. Ezzel együtt, ismételten hangsúlyoznunk kell, hogy a téridő struktúrájának elmélete és a fizikai elméletek, együtt, már a valóság empirikusan tesztelhető tényeit írják le.

Poincaré konvencionalizmusa kapcsán heves vita bontakozott ki az irodalomban arról, hogy vajon a tér dimenziója is egy konvenció csupán, mint ahogyan ezt Poincaré szintén felveti, vagy természeti tény. Poincaré a következőt írja:

A fizikai törvényeket differenciálegyenletekkel írjuk le, amelyekben az anyagi pontok három koordinátája szerepel. Nem lehetne esetleg ezeket a törvényeket más egyenletekkel kifejezni, ahol ez esetben más, négy koordinátával jellemzett anyagi pontok jelennének meg?⁴

A dimenzió konvencionalitását nyilván úgy lehetne a legelegánsabban bemutatni, ha felmutatnánk egy, a fenti példánkhoz hasonló olyan alternatív ,, $\mathrm{Fizika}\left(n\neq3\right)$'' elméletet, melyre igaz lenne, hogy

$$\begin{array}{ccccc} \left(\begin{array}{c} 3\mbox{-}\textrm... ...xtrm{empirikus}\\ \textrm{tények}\end{array}\right)\end{array}$$

Logikailag nyilván megtehető például, hogy $n>3$ esetén a $\mathrm{Fizika}\left(3\right)$-hoz hozzáveszünk olyan axiómákat, amelyek egyszerűen megszorítják az anyagi pontok térkoordinátáit egy háromdimenziós altérre (részsokaságra). Vagy például háromnál kisebb dimenzióban a fennmaradó térkoordinátákat nem geometriai, hanem valamilyen fizikai változóknak tekintjük. Persze ettől el lehet gondolni tetszetősebb megoldásokat is. Nem célunk itt, hogy ilyeneket most kitaláljunk, csupán arra szeretnék rámutatni, hogy azok a határozott érvek, melyeket Poincaréval szemben szoktak megfogalmazni, tévesek. Egyik ilyen gyakran hangoztatott érv Ehrenfest-től származik.⁵ Ehrenfest szerint, a tér háromdimenziós volta ,,empirikus, fizikai tény''. A ponttöltés tere ugyanis $E\left(r\right)=\frac{kQ}{r^{2}}$, tehát a távolság négyzetével csökken, ami csak háromdimenziós térben igaz - hangzik az érv -, hiszen más dimenzióban a Poisson-egyenlet megoldása nem $\frac{1}{r^{2}}$-es összefüggésre vezet. Ami a Poisson-egyenletet illeti, ez igaz. Az érvelés azonban ott téved, amikor természetesnek veszi, hogy egy tetszőleges $n$-dimenziós geometriát előfeltételezve, az elektrosztatikai jelenségekre vonatkozó empirikus észleléseink egy $n$-dimenziós Poisson-egyenletre vezetnének. Ezt nemhogy nem garantálja semmi, hanem - mint az Ehernfest által felmutatott problémákból is kitűnik - egyenesen lehetetlen! A $\mathrm{Fizika}(n\neq3)$ nem egyszerűen abból áll, hogy a $\mathrm{Fizika}\left(3\right)$ minden formulájában, ahol a dimenzió megjelenik, a hármast kicseréljük $n$-re. Például a Maxwell-egyenletek, melyekbol az elektrosztatika Poisson-egyenletét származtatjuk, nem háromdimenziós térben fel sem írhatók a szokásos alakjukban, hiszen a rotációnak csak három dimenzióban van értelme (legalábbis csak ott lesz egy vektor). Hasonlóképpen a vektoriális szorzatnak sincs értelme, csak három dimenzióban. Vagyis a fizika törvényei egy más dimenzióban nem a háromdimenziós fizikai törvények ,,kézenfekvő matematikai általánosítása'' útján tárhatók fel, hanem úgy, hogy a legelemibb empirikus tapasztalatainktól elindulva, egy nem háromdimenziós geometria nyelvén mindent újrafogalmazunk, és egy új fizikát építünk fel. Ember legyen a talpán, aki előre megmondja, hogy mi lenne egy ilyen programnak a végeredménye! Nem látunk példát ennek a programnak még csak a részleges megvalósítására sem,⁶ hiszen nincs semmilyen praktikus motivációja annak, hogy ezt megtegyük. Itt most csupán az a fontos, hogy Poincarénak az a felvetése, hogy esetleg a dimenzió is csupán konvenció kérdése, nem alaptalan, és hogy az ellenkezőjére nincs semmilyen empirikus, fizikai bizonyíték.

Egyes feltételezések szerint (pl. Einstein), ugyanez a helyzet a Lorentz-elméletre és a relativitáselméletre nézve:

$$\begin{array}{ccccc} \left(\begin{array}{c} \textrm{newtoni}... ...xtrm{empirikus}\\ \textrm{tények}\end{array}\right)\end{array}$$

Einstein jól ismerte, tisztelte, s bizonyos értelemben el is fogadta Poincaré konvencionalista álláspontját, egy kalap alá véve Kanttal, mondván, hogy ,,Az empirikus adatok értelmezéséhez gondolkodásra van szükség. A fogalmak és kategóriák elkerülhetetlenek, hiszen a goldolkodás elválaszhatatlan elemei.''⁷ Ha Kant megelégedett volna ezzel a megállapítással - írja -, akkor elkerülhette volna a szkepticizmust. ,,Valójában azonban Kant annak a tévedésnek esett áldozatául (s ezt nehéz lett volna az ő idejében elkerülnie), hogy az euklideszi geometria a gondolkodásunk számára szükségszerűen adott, és hiteles (azaz az érzéki tapasztalástól független) tudást nyújt a megértendő »külső« világra vonatkozóan.''⁸ Einstein világosan látta, hogy Kantnak ettől a tévedésétől egyenes út vezetett az a priori szintetikus ítéletekig.

Einstein a téridő geometriáját a világról való fogalmi gondolkodás kiinduló lépésének tekintette, egy olyan választásnak, amelyet nem lehet, és - szerinte - nem is szükséges empirikusan alátámasztani. ,,Valójában egyetlen fizikai elmélet sem teljesíti ezt a követelményt'' - írja Percy Bridgmannal polemizálva. ,,Hogy egy elmélet fizikai elméletnek legyen tekinthető, csupán az szükséges, hogy a belőle levezethető állítások, elvben, empirikusan ellenőrizhetők legyenek.''⁹

Duhem-Quine-tézis

A DQ tézist vagy más néven aluldeterminációs tézist sokféle, különböző erősségű formában szokás érteni. Kezdjük a leggyengébb verzióval:

U1

Elvben nem zárható ki, hogy empirikus adatok egy halmazát több különböző elmélet is képes leírni. (Hume)
$\Rightarrow$ Következésképpen minden ,,empirikus evidencia'' relatív egy elméletre nézve, abban az értelemben, hogy az elmélet határozza meg, hogy minek az evidenciája.

U2

Nem lehetséges sem megerősíteni sem cáfolni egy elmélet kiragadott részét, csak az egész elméletet. (Quine-holizmus, Quine Carnap-kritikája))

U3

Egy $H\wedge A$$\Rightarrow E$ szerkezetű elmélet esetén az $A$ feltevésrendszer mindig módosítható úgy, hogy $H\wedge A'$ $\Rightarrow\neg E$. (Duhem)
$\Rightarrow$ Következésképpen nem lehetséges egy $H$ hipotézist valamely empirikusan tesztelhető - $A$ feltétel melletti - következményének nemteljesülésével megcáfolni.

U4

Tetszőleges elmélet racionálisan megtartható, függetlenül attól, hogy milyen empirikus evidenciákkal bírunk. (Quine: Két dogma)

Laudan (A ,,Demistifying''-ban) ide sorolja az induktív általánosítás és az tudományos extrapoláció aluldetermináltságát (ampliatív aluldetermináció) is. Mivel ez más természetű aluldetermináltság, ezt az indukció problémájának tárgyalásánál fogjuk megvizsgálni.

Megjegyzések:

• U1 és U2 nyilvánvalóan igaz. A Poincaré-féle konvencionalizmus példa ezekre. Mint Grünbaum helyesen mutat rá¹⁰, a Poincaré-féle tézis azonban nem támasztja alá U3-at és U4-et.
• U3 és U4 messze nem triviális, hogy igaz lenne, és DQ egyáltalán nem bizonyította be, hogy így van. A probléma a következő. Éppen a holizmusból következően, ha egy $T$ elmélet egésze ellentmond egy evidenciának, akkor az elméletet falszifikáltuk, mint egészet. Tegyük fel, találtunk egy új $T'$ elméletet, amely kompatibilis az összes evidenciával. De mi garantálná, hogy azt, hogy $T$ és $T'$olyan szerkezetűek, hogy $T=H\wedge A$ illetve $T'=H\wedge A'$? Még kevésbé igaz ez a $T$ elmélet tetszőleges $H$ részére.
• Ha csak U1 és U2 tartható, abból nem következik, hogy ,,anything goes''.
• Laudan jogosan bírálja azokat, akik U1 és U2 tézisekből kiindulva az ,,episztemológiát szociologizálják'' (történetesen Hesse-vel és Bloorral polemizál). Bírálata azonban célt téveszt. Mert a szociológiai program helyesen gondolja, hogy az elméletek empirikus aluldetermináltsága megnyitja az utat azokhoz a vizsgálatokhoz, hogy a ténylegesen felmerült, egymással rivalizáló elméletek közötti választásnak milyen nem-deduktív és nem empirikus elemei lehetnek. A tévedés ott történik, amikor az elméletválasztásnak ezt a problémáját episztemológiai kérdésnek tekintik.¹¹

A relativitáselmélet példája óvatosságra int

A relativitáselméletről mondottakból világosan kiderült, hogy a relativitáselmélet és a klasszikus fizika (Lorentz-elmélet) viszonya nem illik bele a Poincaré-féle konvencionalista sémába. A tévedés gyökere, az a feltételezés, mely szerint a Lorentz-elméletben extra feltevéseket teszünk (kell tennünk) a méterrudak és órák deformációjára, a MM interferométer karjainak kontrakciójára, stb. nézve, ahhoz, hogy az empíriával egyező eredményeket kapjunk, míg a relativitáselméletben nem. Jól jellemzi ezt pl. Lánczos Kornél következő mondata:

A [Michelson-Morley] kísérlet negatív eredménye arra késztette Lorentzet, hogy feltételezze [kiemelés tőlem - Sz. L.]: az éterhez viszonyított mozgás hatására a mozgás irányába eső távolságok megrövidülnek (ez a Fitzgerald-Lorentz-féle kontrakciós hipotézis), és így kompenzálja azt a jelenséget, amely minden más esetben fellépne.¹²

Vagyis, mintha az lenne a helyzet, hogy

$$\begin{array}{ccccc} \left(\begin{array}{c} \textrm{newtoni}... ...xtrm{empirikus}\\ \textrm{tények}\end{array}\right)\end{array}$$

De a relativisztikus fizika ugyanúgy tartalmazza a fizikai deformációkat, tehát a helyzet a következő:

$$\begin{array}{ccccc} \left(\begin{array}{c} \textrm{newtoni}... ...xtrm{empirikus}\\ \textrm{tények}\end{array}\right)\end{array}$$

és persze ez csak úgy és azért lehetséges mert

$$\left(\begin{array}{c} \textrm{newtoni}\\ \textrm{téridő}\e... ...ay}{c} \textrm{Minkowski-}\\ \textrm{téridő}\end{array}\right)$$

csak az egyik $(x,t)$ a másik $(x',t')$ változókban kifejezve. Tehát - mint korábban kifejtettük - a két elmélet minden vonatkozásban ugyanaz. Az egyetlen különség a ,,tér'' és ,,idő'' szavak használatában van.

E megállapításunk rávilágít arra, hogy Poincaré konvencionalista felfogását is újra átgondoljuk. Abban a szabadságban, hogy a téridő geometriáját megválaszthatjuk, a konvencionalitásnak két esete keveredik egyszerre:

1. Nem triviális konvencionalizmus: az elméletek empirikusan aluldetermináltak.
2. Szemantikai konvencionalizmus: az elnevezés szabadsága, vagyis az a szabadságunk, hogy az empirikusan értelmezett (fizikai) mennyiségek közül mit minek nevezünk, például melyiket nevezzük tér- illetve időkoordinátának.

Az empirikus aluldetermináltságra példa a téridő topológiájának konvencionális jellege. Ebben az esetben tisztán látjuk érvényesülni a Poincaré által tételezett választás szabadságát a téridő lehetséges struktúrái és a hozzájuk tartozó fizikai elméletek között. Ez egyben példa az empíria ,,elmélet-terhességére'' is. Gondoljunk Wheeler fizikushallgatójára: a laboratóriumban látott egyszerű jelenség a tér nem triviális topológiájának éppúgy lehet az evidenciája, mint a töltés létezésének, s ez csupán az elméleti előfeltevésektől függ.

Ugyanakkor Poincaré korongos példájában szó sincs az empíriát megelőző elméleti feltevésekről, és arról a fajta konvencionalitásról, melynek illusztrálására a példa született. Egyszerű szemantikai konvencióról van szó! Túl könnyen, és túl gyakran szokás az empíriát megelőző elméleti feltevésekről beszélni! Olyan egyszerű mérési operáció, mint a távolság mérése - állítja Reichenbach¹³ - nem végezhető el, pontosabban nem értelmezhető anélkül az elméleti előfeltevés nélkül, hogy a merev méterrúd egy szakasz mentén egymás után lehelyezve nem változtatja a hosszát, pontosabban, hogy nincsen olyan univerzális deformáció, melyet a méterrudak is és azok az objektumok is, melyek hosszát mérni kívánjuk, elszenvednek. A koronglakók példájára lefordítva, a távolságmérés során más eredményre ,,jutnak'', és ezzel a világuk geometriáját másnak fogják ,,tapasztalni'', ha azzal az elméleti előfeltevéssel élnek, hogy a világuk hőmérséklete állandó, illetve, ha változik - állítja Poincaré. Jobban meggondolva azonban - hasonlóan a relativitáselmélet kontra Lorentz-elmélet esetéhez -, ez nem igaz! Egyszerűen kétféle fizikai mennyiséget vezethetünk be:

$$\begin{array}{rcccl} x & : & \begin{array}{c} \textrm{a méte... ...{2}-\widetilde{r}_{i}^{2}\right)}{\widetilde{R}^{2}}\end{array}$$

ahol $\widetilde{r}_{i}$ az $i$-edik helyen álló méterrúd $\widetilde{x}$-távolsága a középponttól, azaz a második esetben minden egyes ,,métert'' egy $\frac{\left(\widetilde{R}^{2}-\widetilde{r}_{i}^{2}\right)}{\widetilde{R}^{2}}$ faktorral súlyozunk. Ebből a szempontból mindegy, hogy milyen teoretikus előfeltevések alapján definiáljuk így az egyik mennyiséget illetve a másikat, a lényeg az, hogy empirikus értelemben két különböző mennyiséget értelmeztünk. Hasonlóan két további fizikai mennyiséget értelmezhetünk:

$$\begin{array}{rcccl} T & : & \begin{array}{c} \textrm{a méte... ...{R}^{2}-\widetilde{r}^{2}\right)}{\widetilde{R}^{2}}\end{array}$$

Most, hogy $x$ vagy $\widetilde{x}$ mennyiséget nevezzük ,,távolságnak'', nem igazán jelentős kérdés, illetve az sem különösebben fontos, hogy $T$-t vagy $\widetilde{T}$-ot kereszteljük el ,,hőmérsékletnek''. Ez az a szabadság, melyet szemantikai konvencionalizmusnak nevezünk. Bárhogyan is döntöttünk az elnevezések ügyében, a fizika törvényeit és a tér geometriáját a valóság, a mérési eredmények egyértelműen meghatározzák: Fizikai törvény lesz például, hogy $T(r)=\textrm{konstans}$, illetve az is, hogy $\widetilde{T}(\widetilde{r})=T_{0}\frac{\left(\widetilde{R}^{2}-\widetilde{r}^{2}\right)}{\widetilde{R}^{2}}$. Hasonlóan, a mérési eredmények egyértelműen determinálják, hogy az $x$-geometria nem euklideszi, az $\widetilde{x}$-geometria pedig euklideszi. Miután tehát eldöntöttük, hogy mit jelent a ,,távolság'' szó, az $x$, vagy az $\widetilde{x}$ mennyiséget, a mérések egyértelműen meghatározzák a tér geometriáját. Hasonlóan az, hogy a hőmérséklet a mérések szerint állandó, vagy változik, csupán attól függ, hogy az állandó $T$, vagy a radiálisan csökkenő $\widetilde{T}$ mennyiséget kereszteljük el ,,hőmérsékletnek''. Nincs tehát szó két fizikai elméletről és két térgeometriáról, csupán a szavak más használatáról!