Miért kitüntetett szög a derékszög?

ELTE, Elméleti Fizikai Tanszék
ELTE, Tudománytörténet és Tudományfilozófia Tanszék

Abstract:

Azért, mert van a világban valami, amit az evolúció során ,,megtanultunk'' és - ennek folyományaképpen - velünk születik az euklideszi geometria, vagy csak azért, mert az iskolában ezt tanuljuk?

Bevezetés

A relativitáselméletrõl szóló egyetemi elõadásokon az elõadók fel szokták tenni azt a kérdést, hogy vajon mivel magyarázható, hogy az ember számára az euklideszi geometria (a newtoni téridõ) az, amely természetes, és a világ valóságos geometriája, mondjuk a Minkowski-geometria olyannnyira természetellenes, hogy az abban való gondolkodás még a relativitáselméletet jól ismerõk számára is komoly nehezséget okoz. S rögtön meg is válaszolják a kérdést: Az evolúció során az ember a világ jelenségeibõl csak olyanokat tapasztalt, melyekben a világ jó közelítéssel euklideszinek mutatkozott, s ennek megfelelõen a téridõ-érzékelésünk a newtoni téridõ-struktúrát tükrözi.

E széles körben elterjedt nézet, azon túl, hogy feltételezi, hogy a világ geometriai viszonyai az elmében visszatükrözõdnek, vagyis, hogy e geometriai struktúra és - az érzékelés révén kialakuló - mentális reprezentáció között egy megfelelés áll fenn, hallgatólagosan azt is feltételezi, hogy a világnak van valamilyen geometriai struktúrája.

Miközben a kognitív tudomány különbözõ irányzatai között vita zajlik arról, hogy milyen mechanizmus magyarázza meg a külvilág bizonyos struktúrái és azok mentális reprezentációja közötti megfelelést (instrukciós és szelekciós modellek), sõt, hogy van-e ilyen reprezentáció és van-e ilyen megfelelés egyáltalán (RTM és kritikusai), általában adottnak szokás venni, hogy van a világnak egy bizonyos struktúrája , melyre a megismerési folyamat irányul. A geometria példájánál maradva, a látáskutatásban, az olyan fogalmak, mint pont, egyenes, távolság, dimenzió, merõlegesség, párhuzamosság, szimmetria, stb., mint a külsõ világ elemei, adottak. Julesz Béla egyik stratégiai fontosságú kérdése, melynek - mint írja - tudományos élete nagy részét szentelte, hogy ,,Hogyan tudja a látórendszer rekonstruálni [sic!] 2-D retinális vetületekbõl a környezet lehetõ legjobb 3-D reprezentációját?'', mint a valóság egy tényét feltételezi, hogy a világ háromdimenziós, s benne a retinális vetületek kétdimenziósak. A látáskutatónak a valóságos világ geometriájára vonatkozó meggyõzõdése egybevág a fizikus meggyõzõdésével, mely szerint a tér valóságos geometriája (legalábbis a nem-relativisztikus fizika érvényességének tartományában) a háromdimenziós euklideszi geometria.

Mármost a probléma, amivel itt foglalkozni kivánok, az, hogy a fizikus téved, amikor a világ, vagy ahogyan mondani szokás, a fizikai tér geometriájáról beszél. A világnak nincs geometriája!

A téridõ geometriájának eredendõen konvencionális jellege

Felmerül a kérdés, le lehet-e vezetni egy fizikai elméletbõl bármilyen, a tér(idõ) geometriájára, és általában, szerkezetére vonatkozó állítást. Minden bizonnyal Poincarénak van igaza, aki úgy gondolta, hogy nem. A térre és idõre vonatkozó állításaink konvencionálisak. Képletesen szólva

$\begin{displaymath} \left( \textrm{téridõ geometria}\right) +\left( \textrm{fizika}\right) =\left( \textrm{világ empirikus tényei}\right) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{array} {ccccc} \left( \textrm{téridõ geometria}\right... ...& = & \left( \textrm{világ empirikus tényei}\right) \end{array}\end{displaymath}$

Poincaré ezt a következõ példán mutatta meg: Gondoljunk el kétdimenziós lényeket, akik arra vannak kárhoztatva, hogy egy közönséges euklideszi körlap belsején éljék életüket (1. ábra). Vannak méterrúdjaik, melyekkel távolságot tudnak mérni. A körlap hõmérséklete a középponttól kifelé haladva a $T(r)=T_{0}\frac{\left( R^{2}-r^{2}\right) }{R^{2}}$ formula szerint csökken. Méterrúdjaik a hõmérséklettel arányosan változtatják hosszukat, tehát a kör széléhez közelítve a méterrudak hossza tart nullához. Poincaré megmutatta, hogy ha e körlap lakói úgy veszik, hogy méterrúdjaik hossza mindenütt egyforma, akkor arra a konklúzióra jutnak, hogy egy végtelen kiterjedésû, konstans negatív görbületû Bolyai-Lobacsevkszki-felületen élnek. Vagyis a geometria és a fizikai elmélet együtt kell, hogy megfeleljen mindannak, amit e kétdimenziós lények mûszereikkel és érzékszerveikkel a világból tapasztalnak:

$\begin{displaymath} \begin{array} {ccccc} \left( \begin{array} {c} \textrm{Bolya... ...xtrm{empirikus}\ \textrm{tények}\end{array}\right) \end{array}\end{displaymath}$

Mint ismeretes, az elsõ nem-euklideszi geometriák megalkotásakor Gauss kísérletileg akarta eldönteni, hogy melyik a ,,helyes'' geometria. Igaza volt-e Gaussnak? Részben igen, részben nem! Egyáltalán nem volt igaza, ha azt akarta így eldönteni, hogy a nem-euklideszi geometriák helyesek-e, mint matematikai konstrukciók. Ez nem empirikus kérdés. Kis leegyszerûsítéssel azt mondhatjuk, a matematikus olyan matematikai struktúrát hoz létre, amilyet csak akar, feltéve, hogy a struktúrát értelmezõ axiómarendszer ellentmondásmentes, s hogy a konstrukció eleget tesz még néhány tradicionális elvárásnak. Ha ezeket valaki geometriának nevezi, szíve joga. Ha Gauss a fényjelekbõl képzett háromszög szögeinek összegét azért kívánta megmérni, mert ezzel arra keresett választ, hogy melyik geometria írja le helyesen a fényjelek viselkedését, akkor igaza volt, hogy ez egy empirikus kérdés. Tévedett viszont, ha arra gondolt, ezzel majd eldönthetõ, hogy a lehetséges geometriák közül melyik a ,,világ (pontosabban a fényjelek) geometriája'', hiszen önmagában a geometriát nem lehet az empirikus megfigyelésekbõl kiolvasni, csupán a fizikai elmélettel együtt vonatkoztatható az empirikus világra.

**Figure:** Képzeljünk el olyan kétdimenziós lényeket, akik egész életüket egy euklideszi körlap belsejében élik le. Vannak méterrúdjaik, melyekkel távolságot tudnak mérni. A körlap hõmérsékleteloszlása nem homogén. A középponttól kifelé haladva a $T(r)=T_{0}\frac{\left( R^{2}-r^{2}\right) }{R^{2}}\protect$ formula szerint csökken. Tegyük fel az egyszerûség kedvéért, hogy méterrúdjaik a hõmérséklettel arányosan változtatják hosszukat, tehát a kör széléhez közelítve a méterrudak hossza tart nullához. Könnyen belátható, hogy ha e körlap lakói úgy veszik, hogy méterrúdjaik hossza mindenütt egyforma, akkor arra a konklúzióra jutnak, hogy egy végtelen kiterjedésû, konstans negatív görbületû Bolyai-Lobacsevkszki-felületen élnek
$\begin{figure} {\centering \resizebox *{7cm}{!}{ \includegraphics {korong.eps} } \par} \end{figure}$

Összegezve tehát, matematikai értelemben sokféle geometria létezhet, és létezik. Abban a pillanatban, azonban, amikor azt kérdezzük, ,,empirikus-e a geometria'', vagyis eldönthetõ-e egy geometriai kérdés empirikusan, a geometriára nem egyszerûen, mint matematikai elméletre gondolunk, hanem, mint egy olyan elméletre, amely a világra vonatkozik. S mint ilyent, máris a világról szóló (jelesül fizikai) elméletünk tartozékaként kell felfognunk. Ennek megfelelõen, csak e fizikai elmélettel együtt vethetõ alá az empirikus konfirmációnak. Ebben a minõségében azonban, mint Reichenbach helyesen hangsúlyozza, empirikusan szerzett tudásunk része.

Azt hihetnénk a fenti elemzések alapján, hogy a téridõnek csak a metrikus tulajdonságai konvencionálisak, vagyis csak azok a tulajdonságok, melyek meghatározzák az egyes események téridõbeli távolságát. S hogy a topológiája a téridõ struktúrájának olyan eleme, amely nem konvenció-jellegû. A következõ példán keresztül szeretnék rámutatni, hogy ez nem igaz. Misner és Wheeler mutatták meg elõször, hogy a vákuum Einstein-egyenleteknek létezik megoldása az $S^{1}\times S^{2}\times {\rm I\!R}$ topológiában, vagyis egy olyan téridõ-sokaságon, melyben a térszerû hiperfelületek topológiája $S^{1}\times S^{2}$ . Ezeket a képzõdményeket nevezte Wheeler ,,féreglyukaknak''. A megoldás érdekessége, hogy a féreglyuk két szája körül a téridõ geometriája olyan, mintha egy-egy külsõ Schwartzschild-megoldás lenne, vagyis a vákuum egy ilyen topológiában úgy viselkedik, mintha ott nagy pontszerû tömegek lennének. Ezt a jelenséget nevezte Wheeler úgy, hogy ,,tömeg, tömeg nélkül''. Wheeler azt is megmutatta, hogy a csatolt vákuum Einstein-Maxwell-egyenleteknek is létezik megoldása a féreglyuk topológiában. Ilyenkor a féreglyuk két szája nem csak tömegként, hanem töltésként is viselkedik, miközben a tereknek nincsenek a valóságban forrásaik, hiszen vákuum megoldásról van szó, vagyis töltéseket látunk töltés nélkül (2. ábra). Wheeler példájával élve, ha egy fizikushallgatónak úgy alakítanánk a tantervét, hogy elõször megtanítanánk neki a topológiát, utána megtanulná a vákuum elektrodinamikát, vagyis a Maxwell-egyenleteket úgy, hogy nem szerepelnek benne töltések és áramok, majd ezek után bevinnénk egy laboratóriumba és demonstrálnák neki egy ponttöltés körüli elektromos mezõ erõvonalait, akkor ez a diák felkiáltana, ,,Jé, itt egy lyuk van a térben, a tér nem egyszeresen összefüggõ!''.

**Figure:** ,,Töltés, töltés nélkül''. Az Einstein-Maxwell-egyenletek csatolt vákuum megoldása az $S^{1}\times S^{2}\times {\rm I\!R}$ topológiában. A féreglyuk két szája körül az elektromos mezõ olyan, mintha ott egy pozitív illetve negatív töltés lenne, miközben az elektromos mezõnek nincsenek forrásai, hiszen vákuum megoldásról van szó
$\begin{figure} {\centering \resizebox *{10cm}{!}{ \includegraphics {fereglyuk.ps} } \par} \end{figure}$

Megmutatható, hogy a tömeghez és az elektromos töltéshez hasonlóan létezik ,,Yang-Mills töltés, Yang-Mills töltés nélül'', vagyis a többi kölcsönhatást leíró fizikai mezõk töltései is generálhatók a tér nem egyszeresen összefüggõ topológiájával. Tehát a téridõ topológiájában is van egy konvencionális elem:

$\begin{displaymath} \begin{array} {ccccc} \left( \begin{array} {c} \textrm{egysz... ...xtrm{empirikus}\ \textrm{tények}\end{array}\right) \end{array}\end{displaymath}$

Vegyük észre azt a tudományfilozófiai szempontból figyelemreméltó körülményt, hogy a téridõ topológiájában és geometriájában fennálló konvencionalitás egyben a fizikai elméletek konvencionalitását is jelenti: a fizikai létezõk olyan esszenciális attribútumainak , mint a tömeg és a különbözõ töltések, már a puszta létezése is csupán konvenció kérdése. Ezzel együtt, ismételten hangsúlyoznunk kell, hogy a téridõ struktúrájának elmélete és a fizikai elméletek, együtt, már a valóság empirikusan tesztelhetõ tényeit írják le.

Poincaré konvencionalizmusa kapcsán heves vita bontakozott ki az irodalomban arról, hogy vajon a tér dimenziója is egy konvenció csupán, mint ahogyan ezt Poincaré szintén felveti, vagy természeti tény. Poincaré a következõt írja:

$\begin{displaymath} \begin{array} {ccccc} \left( 3-\textrm{dimenziós geometria}\... ...ight) & = & \left( \textrm{empirikus tények}\right) \end{array}\end{displaymath}$

Logikailag nyílván megtehetõ például, hogy n>3 esetén a $\mathrm{Fizika}\left( \mathrm{3}\right)$ -hoz hozzáveszünk olyan axiómákat, amelyek egyszerûen megszorítják az anyagi pontok térkoordinátáit egy 3-dimenziós altérre (részsokaságra). Vagy például háromnál kisebb dimenzióban a fennmaradó térkoordinátákat nem geometriai, hanem valamilyen fizikai változóknak tekintjük. Persze ettõl el lehet gondolni tetszetõsebb megoldásokat is. Nem célunk itt, hogy ilyeneket most kitaláljunk, csupán arra szeretnék rámutatni, hogy azok a határozott érvek, melyeket Poincaréval szemben szoktak megfogalmazni, tévesek. Egyik ilyen gyakran hangoztatott érv Ehrenfest-tõl származik. Ehrenfest szerint, a tér háromdimenziós volta ,,empirikus, fizikai tény''. A ponttöltés tere ugynis $E\left( r\right) =\frac{kQ}{r^{2}}$ , tehát a távolság négyzetével csökken, ami csak háromdimenziós térben igaz - hangzik az érv -, hiszen más dimenzióban a Poisson-egyenlet megoldása nem $\frac{1}{r^{2}}$ -es összefüggésre vezet. Ami a Poisson-egyenletet illeti, ez igaz. Az érvelés azonban ott téved, amikor természetesnek veszi, hogy egy tetszõleges n-dimenziós geometriát elõfeltételezve, az elektrosztatikai jelenségekre vonatkozó empirikus észleléseink egy n-dimenziós Poisson-egyenletre vezetnének. Ezt nemhogy nem garantálja semmi, hanem - mint az Ehernfest által felmutatott problémákból is kitûnik - egyenesen lehetetlen! A $\mathrm{Fizika}(n\neq 3)$ nem egyszerûen abból áll, hogy a $\mathrm{Fizika}\left( \mathrm{3}\right)$ minden formulájában, ahol a dimenzió megjelenik, a hármast kicseréljük n-re. Például a Maxwell-egyenletek, melyekbol az elektrosztatika Poisson-egyenletét származtatjuk, nem-háromdimenziós térben fel sem írhatók a szokásos alakjukban, hiszen a rotációnak csak három dimenzióban van értelme (legalábbis csak ott lesz egy vektor). Hasonlóképpen a vektoriális szorzatnak sincs értelme, csak három dimenzióban. Vagyis a fizika törvényei egy más dimenzióban nem a 3-dimenziós fizikai törvények ,,kézenfekvõ matematikai általánosítása'' útján tárhatók fel, hanem úgy, hogy a legelemibb empirikus tapasztalatainktól elindulva, egy nem-háromdimenziós geometria nyelvén mindent újrafogalmazunk, és egy új fizikát építünk fel. Ember legyen a talpán, aki elõre megmondja, hogy mi lenne egy ilyen programnak a végeredménye! Nem látunk példát ennek a programnak még csak a részleges megvalósítására sem, hiszen nincs semmilyen praktikus motivációja annak, hogy ezt megtegyük. Itt most csupán az a fontos, hogy Poincarénak az a felvetése, hogy esetleg a dimenzió is csupán konvenció kérdése, nem alaptalan, és hogy az ellenkezõjére nincs semmilyen empirikus, fizikai bizonyíték.

Eredeti témánk szempontjából az a fontos, hogy a téridõ geometriája választás, megállapodás kérdése.

Miért kitüntetett szög a derékszög?

Abstract:

Bevezetés

A téridõ geometriájának eredendõen konvencionális jellege

Konklúzió

Bibliográfia